几个月前实现了一个自动相关的算法，在一个比较乐观的测试中，将一个2.3G的url集合压缩到了27M，同时，key查找的时间复杂度是O(strlen(key))。当然，还有其它一些自动机相关的算法的优化实现，比如Aho-Corasick多模匹配。

自动机的实现，这里说的自动机，指确定性的有穷状态自动机(DFA: Deterministic Finite Automata)。关于非确定性的有穷状态自动机(NFA:Non-deterministic Finite Automata)，不会做过多介绍。NFA和DFA本质上是等价的，也就是说，它们的表达能力（能识别的语言的集合）是相同的。

“语言”这个词，在自动机理论中，往简单了说，就是（任意长度的）字符串集合。

NFA

定义：精确定义可参考维基百科

往简单了说，就是一个：map<state,map<char,set<state>>>，这里state是个整数，是state的标识（当然也可以是其他类型，只要能用作一个唯一标识）。

或者说是一个函数：delta(state,char)à{state}, {state}表示状态的集合

一般的NFA有个扩展，相当于在字符集中加了一个空字符，表示不需要读取输入，就可以自由地转化到其它状态。

正则表达可以很方便地翻译成NFA，然后再进行相关的操作（如直接匹配字符串，或者转化到DFA后再匹配，等等）。

DFA

定义：精确定义可参考维基百科

往简单了说，就是一个：map<state,map<char,state>>，这里state是个整数，是state的标识。

或者说是一个函数：delta(state,char)àstate

可以看到，DFA和NFA的唯一不同就在于它的转移函数的返回值是一个state，而不是多个state，并且DFA没有空转移。

NFA转化DFA

NFA既然和DFA等价，那么，它们之间就存在对应关系，DFA到NFA的转化是自明的：没有空转移，把返回的单个state编程仅包含一个state的集合，就是一个形式上的NFA。但是，NFA到DFA的转化就不是那么简单了，实际上，在计算理论中，它属于ExpSpace问题，是一类比NP问题更难的问题。

往简单了说，因为NFA的转移函数的返回值是个state集合，如果NFA的state数目为n，那么这个state集合的集合，就是整数[0,n)的幂集，这个幂集的元素数目是  ，不错，在最坏情况下，包含n个状态的NFA对应的DFA有 个状态。

具体的转化算法，叫做“子集构造法”。

DFA最小化

不同(去除同构)的DFA，其能识别的语言可能相同，既然如此，当我们得到一个DFA时，我们就希望找到一个最小的DFA，它能识别的语言和这个DFA相同。最小的DFA，是指状态数最小。最典型的两个例子：

l  从NFA用子集构造法转化来的DFA，一般不是最小的

l  Trie，是一个DFA，但它一般也不是最小的

Hopcroft DFA 最小化算法

这个算法是已知的最快的通用DFA最小化算法，不幸的是，几乎没有任何教科书讲到这一点，绝大部分教科书，不过是简单提了一下。甚至Hopcroft自己的那本形式语言与自动机，也不过只用两三页，描述了一个几乎是最差的算法。这个算法是Hopcroft发明的，我很奇怪他为什么不在自己的书里详细讲解。

这个算法的核心有两点：

l  分区细化（Partition Refinement）

n  也许叫做子集细化更合适

n  可能知道并查集（Union Find Set）的人更多，并查集是不断合并集合，而Partition Refinement正好相反，是不断地切分集合

l  Unspecified add/remove sequence queue

n  实现Hopcroft还需要一个队列，不过这个队列不必是先进先出的，它的元素可以以任意顺序进出，包括先进后出(stack)

n  在实践中，先进后出(stack)的策略可以让整个算法运行得更快

n  这个队列在Hopcroft算法中叫做WaitingSet

Hopcroft算法的简单介绍可以参考维基百科：

所谓Partition，就是构成一个集合的多个互不相交的子集，在Hopcroft算法中，集合就是State的集合。

我的Hopcroft算法实现上有一些优化：

第一点：

Partition的数据结构，操作最频繁的是：

1.        创建Partition

2.        从一个Partition把元素移动到另一个Partition

能高效这两个操作的数据结构，只有双向链表，增加、删除结点的时间复杂度都是O(1)：每个Partition需要一个链表头，链表元素个数，再把所有元素用双链表链起来。

我看过的所有Paper都是这样的实现：物理的链表。但是我仔细思考了一下：所有Partition都是互不相交的！

定理：给定数组int P[N]，如果P中的数字是[0,n)的一个排列，那么如果将P[i]看成数组下标的链接，那么P中包含了多个逻辑环状链表，并且这些逻辑环状链表互不相交。

于是，我就可以用数组: struct{int next, prev;} 来表达这个Partition。

第二点：

for each c
in ∑ do

|Σ|一般比较大，比如对于计算机的标准字符集字节来说，|Σ|=256，而每个state的（反向）转移一般很小，这样就浪费了很多计算。所以，我一次性将一个partition中的所有反向转移都收集起来，按转移的char分类，再逐个执行Partition Refinement。

有穷字符串集合的DFA

前面说说通用DFA，是因为存在一些特殊的DFA，有特殊的专用算法，有些情况下比Hopcroft算法更快，占用内存更小。有穷字符串集合的DFA就是这样一种特殊情况。

最简单的有穷字符串集合的DFA就是一个Trie，但Trie不是能表达该有穷字符串集合的最小DFA。

能表达一个有穷字符串集合的最小DFA叫做：DAWG(DirectedAcyclic Word Graph)，也叫MinADFA(Minimal
AcyclicDFA)。

要创建一个DAWG，一般的方法是先从字符串集合创建一个Trie，然后再Trie上应用Hopcroft算法，得到MinADFA。但是在实践中，这样的方法内存占用量太大，有人发明了针对这种情况的更好的算法：每加入一个Word，即执行动态在线(dynamic onfly)最小化，一般情况下这种算法比先建Trie再用Hopcroft要稍慢，少数情况下要快一点，但几乎在任何情况下，这种方法占的内存都要小得多。

仅作为字符串集合

如果我们仅仅需要一个字符串集合（相当于set<string>），那问题非常简单，使用动态在线最小化是最好的选择。

这里我只实现了两种操作（不支持delete）：

bool exists(string)：是否接收/存在一个字符串

bool insert(string)：插入一个字符串，如果已存在，返回false，否则true

工程实践中有人使用bloomfilter来判断字符串的存在性，这种方法在网络爬虫中应用得比较多。但bloom filter是不确定性的，它有可能把实际上不在集合中的判断为在。

现在，有了动态dawg，bloom filter可以退役了。

作为key,value映射表

要作为key,value映射表，事情就变得有些复杂了，如果只是Trie，我们可以把value(或者value的指针)存放在state中，但是当Trie变成了DAWG，同一个state，可能经由不同的路径到达，一个路径，就是一个字符串，多个不同的路径，就是多个字符串，多个字符串，那不成多对一了吗？我们要的是一对一！

别着急，我们有的是办法：在每个State上额外保存一个整数，表示从这个State有多少条不同的路径能到达终止状态。然后，在匹配字符串时，我们可以用这些信息算出一个唯一的确定的整数来标识这个字符串。更妙的，算出来的这个标识正好是这个字符串在该DAWG表达的字符串集合的字典序的序号！还有更更妙的呢：这个映射是双向映射，不光可以从字符串找到它的字典序号，还可以从它的字典序号反推出这个字符串本身！

于是，我们只需要一个额外的value数组就OK了，从key找value时，算出该key的字典序，然后直接到value数组中去访问！

一切似乎很完美……

忽然，问题又来了，如果我们新插入了一个(key,value)，而这个新key的字典序号有可能要小于已存的其它key，这样，我们岂不是要在value数组的中部插入新value？这时间复杂度是不能忍受的！

总有办法的，几年前我曾有一篇文章：，并且我也在线索红黑树上实现了这个算法，实际上《算法导论》中也讲到过这个问题。

优化

上面提到的方法是在state中增加一个整数，这种方法在匹配字符串的过程中到达一个state时，需要累加该state的转移的目标state中保存的那个整数，这样，最坏情况下，整个的时间复杂度是O(|Σ|*strlen(key))，这个|Σ|因子可以被优化掉！

将数字保存在转移中，这个数字表示label char小于该转移的label char的所有state到终止状态的路径总数。这样，只要看到这个转移，直接加这个数就可以了。这样做还有一个优点：实际应用中，大部分state只有一个转移，而任意state第一个转移上对应的那个数总是0，这个0可以省掉；在单一转移的情况下，省掉0实现起来比较简单直接，所以我就这么实现了；而在一个state有多个转移的时候，省掉0会把代码弄得很复杂，我就没这么做。

然而，这样也有缺点：在作为map时，无法动态插入，只能预先建好，然后仅做查找。当然，value的值是可以修改的。

应用于非MinADFA的ADFA

从字符串计算标号这件事，并非只能应用在DAWG/MinADFA上，它可以应用在任何ADFA上。决定是否用它只是一个做与不做的问题，而不是能与不能的问题。

比如，在Aho-Corasick算法中，就可以这样做，但这样做可能不是很值，我们可以选择不这样做。

DFA的实现